【点到直线的距离的公式是什么】在解析几何中，点到直线的距离是一个常见的问题。当我们知道一个点的坐标和一条直线的方程时，就可以利用数学公式来计算这个点到该直线的最短距离。以下是对这一公式的总结与说明。
一、点到直线的距离公式
设平面上有一点 $ P(x_0, y_0) $，以及一条直线 $ L $ 的一般式方程为：
$$
Ax + By + C = 0
$$
则点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离 $ d $ 的公式为：
$$
d = \frac{
$$
二、公式说明
- 分子部分：$
- 分母部分：$ \sqrt{A^2 + B^2} $ 是直线法向量的模长，用于归一化距离，使其单位统一。
三、常见情况举例（表格形式）
| 点坐标 $ (x_0, y_0) $ | 直线方程 $ Ax + By + C = 0 $ | 距离 $ d $ 计算 | ||
| $ (1, 2) $ | $ 2x + 3y - 6 = 0 $ | $ \frac{ | 2×1 + 3×2 -6 | }{\sqrt{4+9}} = \frac{2}{\sqrt{13}} $ |
| $ (0, 0) $ | $ x - y + 1 = 0 $ | $ \frac{ | 0 - 0 +1 | }{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ |
| $ (-1, 3) $ | $ 4x + 5y + 7 = 0 $ | $ \frac{ | 4×(-1) + 5×3 +7 | }{\sqrt{16+25}} = \frac{18}{\sqrt{41}} $ |
四、注意事项
- 公式适用于平面直角坐标系中的点和直线。
- 如果直线用斜截式 $ y = kx + b $ 表示，则可以先将其转化为标准式 $ kx - y + b = 0 $，再代入公式。
- 公式中的符号是绝对值，因此结果总是非负的。
通过上述公式和例子，我们可以清晰地理解点到直线的距离是如何计算的。这个公式在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛应用。
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