【点到平面的距离公式立体几何】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，常用于解析几何、空间分析和工程计算等领域。掌握该公式的推导与应用，有助于理解三维空间中的几何关系。
一、公式总结
点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；
- $ D $ 是平面方程中的常数项；
- 分母是法向量的模长，用于归一化距离。
二、公式说明
1. 法向量的作用：平面的一般式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 中，$ (A, B, C) $ 是平面的法向量，方向垂直于平面。
2. 绝对值的意义：由于距离为非负数，因此使用绝对值符号确保结果为正。
3. 归一化处理：分母部分是法向量的长度，用于将点在法向量方向上的投影长度标准化为实际距离。
三、应用实例
| 点坐标 $ P(x_0, y_0, z_0) $ | 平面方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | 计算过程 | 距离 $ d $ | ||
| $ (1, 2, 3) $ | $ x + 2y + 3z - 6 = 0 $ | $ \frac{ | 1+4+9-6 | }{\sqrt{1+4+9}} = \frac{8}{\sqrt{14}} $ | $ \frac{8}{\sqrt{14}} $ |
| $ (0, 0, 0) $ | $ 2x - y + z + 5 = 0 $ | $ \frac{ | 0 - 0 + 0 + 5 | }{\sqrt{4+1+1}} = \frac{5}{\sqrt{6}} $ | $ \frac{5}{\sqrt{6}} $ |
| $ (-1, 2, 0) $ | $ 3x + 4y - 5z + 1 = 0 $ | $ \frac{ | -3 + 8 + 0 + 1 | }{\sqrt{9+16+25}} = \frac{6}{\sqrt{50}} $ | $ \frac{6}{\sqrt{50}} $ |
四、注意事项
- 若点在平面上，则距离为零；
- 公式适用于任意三维空间中的点和平面；
- 当平面方程未写成标准形式时，应先将其整理为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的形式再代入公式；
- 在实际问题中，若已知平面的法向量和一点，也可以通过向量投影的方式计算距离。
五、总结
点到平面的距离公式是立体几何中一个基础而实用的工具，其核心在于利用法向量的方向和点的坐标进行投影计算。掌握该公式不仅有助于解题，还能加深对三维空间结构的理解。通过表格形式的示例展示，可以更直观地理解和应用该公式。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
