【点到面的距离公式是什么】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的计算问题，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。点到平面的距离指的是从一个点出发，垂直于该平面的最短距离。以下是关于点到面的距离公式的详细总结。

一、公式概述

设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；

- $ D $ 是平面方程中的常数项；

- 分母是法向量的模长，用于归一化。

二、公式推导简要说明

1. 平面的一般式为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，其中法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $。

2. 点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面的距离等于该点沿法向量方向投影的长度。

3. 通过向量运算或几何方法可得上述公式。

三、应用示例

四、注意事项

- 公式适用于任意三维空间中的点和平面；

- 若点位于平面上，则距离为零；

- 若平面方程未标准化（即 $ A^2 + B^2 + C^2 \neq 1 $），需进行归一化处理；

- 实际应用中，可以通过向量叉乘、投影等方法辅助计算。

五、总结

点到平面的距离公式是解析几何中的基础工具之一，能够帮助我们快速求解空间中点与平面之间的最短距离。掌握该公式不仅有助于理解三维空间关系，还能在实际问题中提供高效的解决方案。

表：点到面的距离公式总结

如需进一步了解点到直线、线到面等其他距离公式，也可继续探讨。