【点乘运算法则】点乘，又称数量积或内积，是向量运算中的一种基本操作。它在数学、物理和工程领域有着广泛的应用，尤其在三维几何、力学分析以及计算机图形学中具有重要地位。点乘的结果是一个标量，而非向量，其计算方式与两个向量之间的夹角密切相关。
一、点乘的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a3) 和向量 b = (b₁, b₂, b3)，它们的点乘记作 a · b，其计算公式为：
$$
a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
此外，点乘也可以通过两个向量的模长及夹角来表示：
$$
a \cdot b =
$$
其中，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。
二、点乘的性质总结
| 性质名称 | 内容描述 | ||
| 交换律 | $ a \cdot b = b \cdot a $ | ||
| 分配律 | $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ | ||
| 数乘结合律 | $ (ka) \cdot b = k(a \cdot b) $（k 为实数） | ||
| 零向量性质 | 若 $ a = 0 $，则 $ a \cdot b = 0 $ | ||
| 正交性判定 | 若 $ a \cdot b = 0 $，且 $ a $、$ b $ 均非零向量，则两向量垂直 | ||
| 模长关系 | $ a \cdot a = | a | ^2 $ |
三、点乘的实际应用
1. 判断向量是否垂直
若两向量点乘结果为 0，说明它们互相垂直。
2. 计算投影长度
向量 a 在 b 方向上的投影长度为：
$$
\text{proj}_b a = \frac{a \cdot b}{
$$
3. 求解夹角
通过点乘公式可以求出两向量之间的夹角：
$$
\cos\theta = \frac{a \cdot b}{
$$
4. 物理中的功计算
力 F 在位移 s 方向上做的功为：
$$
W = F \cdot s
$$
四、点乘与叉乘的区别
| 特性 | 点乘 | 叉乘 |
| 结果类型 | 标量 | 向量 |
| 几何意义 | 与夹角有关 | 与面积有关（垂直于两向量） |
| 运算方式 | 元素相乘再求和 | 采用行列式方式计算 |
| 应用场景 | 投影、夹角、正交判断 | 扭矩、旋转方向、法向量计算 |
五、小结
点乘运算是向量运算中非常基础且重要的内容，它不仅在数学理论中有广泛应用，也在实际工程和物理问题中发挥着关键作用。掌握点乘的定义、性质及其应用场景，有助于更深入地理解向量之间的关系，并为后续学习叉乘、张量等知识打下坚实基础。
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