【点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。这个距离可以用于许多实际应用，如计算机图形学、工程设计和物理建模等。本文将总结点到平面的距离公式的推导过程，并以表格形式展示关键内容。

一、点到平面的距离公式

设有一个平面 π，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中 $ A, B, C $ 是该平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $，$ D $ 是常数项。

又设有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，求该点到平面 π 的距离 $ d $，则公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

该公式是基于向量投影原理得出的，即点到平面的距离等于点在法向量方向上的投影长度。

二、公式说明

- 分子部分：$ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $ 表示点 $ P $ 在平面方程中的代入值，取绝对值是为了保证距离为非负数。

- 分母部分：$ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} $ 是法向量的模长，用于归一化结果，使距离单位统一。

三、公式应用场景

四、示例计算

假设平面方程为：

$$

2x - 3y + 6z + 1 = 0

$$

点 $ P(1, 2, -1) $

代入公式得：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(-1) + 1}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 - 6 + 1}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{-9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

五、总结

点到平面的距离公式是三维几何中的重要工具，能够快速计算点与平面之间的最短距离。通过理解公式的结构和应用背景，可以更好地将其应用于实际问题中。掌握这一公式有助于提升空间想象能力和数学建模能力。

表格总结

通过以上内容，我们可以清晰地了解点到平面的距离公式及其应用价值。