【样本方差的计算公式】在统计学中，方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。而样本方差则是用于描述从总体中抽取的样本数据波动情况的统计量。与总体方差不同，样本方差在计算时通常采用“无偏估计”的方式，即使用“n-1”作为分母，以更准确地反映总体方差。
以下是对样本方差计算公式的总结，并附有详细说明和示例表格。
一、样本方差的定义
样本方差（Sample Variance）是衡量样本数据相对于其均值的离散程度的统计量。它的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $：样本方差
- $ n $：样本容量（数据个数）
- $ x_i $：第 $ i $ 个样本数据
- $ \bar{x} $：样本均值
> 注意：与总体方差不同，样本方差使用 $ n - 1 $ 而不是 $ n $ 作为分母，这是为了得到对总体方差的无偏估计。
二、样本方差的计算步骤
1. 计算样本均值 $ \bar{x} $
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
$$
2. 计算每个数据点与均值的差的平方
$$
(x_i - \bar{x})^2
$$
3. 求这些平方差的总和
$$
\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
4. 将总和除以 $ n - 1 $
$$
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}
$$
三、示例计算
假设我们有以下样本数据：
$$
\{2, 4, 6, 8, 10\}
$$
步骤 1：计算样本均值
$$
\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6
$$
步骤 2：计算每个数据点与均值的差的平方
| 数据点 $ x_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 2 | -4 | 16 |
| 4 | -2 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
| 8 | 2 | 4 |
| 10 | 4 | 16 |
步骤 3：求平方差的总和
$$
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
$$
步骤 4：计算样本方差
$$
s^2 = \frac{40}{5 - 1} = \frac{40}{4} = 10
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 样本方差公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 分母 | 使用 $ n - 1 $，以获得无偏估计 |
| 用途 | 衡量样本数据的离散程度 |
| 与总体方差区别 | 总体方差用 $ n $，样本方差用 $ n - 1 $ |
通过以上方法，可以准确地计算出样本方差，为后续的统计分析提供基础支持。
