【复合函数同增异减问题】在学习函数的单调性时，我们经常会遇到“复合函数同增异减”这一概念。它是指当两个函数复合时，其单调性取决于内部函数和外部函数的单调性关系。具体来说，若内部函数与外部函数同为增函数或同为减函数，则复合函数为增函数；若一个为增函数，另一个为减函数，则复合函数为减函数。

为了更清晰地理解这一规律，以下是对复合函数单调性变化的总结，并通过表格形式进行对比分析。

一、基本概念

1. 增函数：在定义域内，若 $ x_1 < x_2 $，则有 $ f(x_1) < f(x_2) $。

2. 减函数：在定义域内，若 $ x_1 < x_2 $，则有 $ f(x_1) > f(x_2) $。

3. 复合函数：设 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 称为复合函数。

二、复合函数的单调性判断规则

说明：

- “同增”表示内外函数均为增函数时，复合函数为增函数；

- “异减”表示内外函数一增一减时，复合函数为减函数。

三、实例分析

示例1：

- 设 $ f(u) = \sqrt{u} $（定义域 $ u \geq 0 $），是增函数；

- $ g(x) = x^2 $，在区间 $ [0, +\infty) $ 上是增函数；

- 则复合函数 $ f(g(x)) = \sqrt{x^2} = x $ 在 $ [0, +\infty) $ 上为增函数。

示例2：

- $ f(u) = -u $（减函数）；

- $ g(x) = x $（增函数）；

- 复合函数 $ f(g(x)) = -x $ 是减函数。

示例3：

- $ f(u) = \ln u $（增函数）；

- $ g(x) = -x $（减函数）；

- 复合函数 $ f(g(x)) = \ln(-x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上是减函数。

四、注意事项

1. 复合函数的单调性依赖于函数的定义域和值域范围；

2. 在判断时应先确定各函数的单调区间；

3. 若函数在某区间上不连续或不可导，需特别注意其单调性变化；

4. 实际应用中，可通过导数法进一步验证单调性。

五、总结

复合函数的单调性由内部函数与外部函数的单调性共同决定，遵循“同增异减”的原则。掌握这一规律有助于快速判断复杂函数的增减趋势，是函数性质分析中的重要工具。

通过以上分析，我们可以更系统地理解和应用“复合函数同增异减”这一数学规律。