【复合函数如何求导公式高三课程上的】在高中数学中，复合函数的求导是一个重要的知识点，尤其在高三阶段，学生需要掌握这一内容以应对高考中的导数相关问题。复合函数的求导主要涉及“链式法则”，即对由多个函数复合而成的函数进行求导时，需逐层展开并相乘。
一、复合函数的基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数，记作 $ y = f \circ g(x) $。
二、复合函数的求导方法
复合函数的求导遵循链式法则（Chain Rule），其基本形式如下：
> 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
> $$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、常见复合函数求导公式总结
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 链式法则基础应用 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数复合情况 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数复合 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) $ | 对数函数复合 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数复合 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 三角函数复合 |
四、例题解析
例题1：求 $ y = (2x + 3)^5 $ 的导数。
解法：
设 $ u = 2x + 3 $，则 $ y = u^5 $。
根据链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4
$$
例题2：求 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数。
解法：
设 $ u = \sin x $，则 $ y = \ln u $。
根据链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x
$$
五、学习建议
1. 理解链式法则的本质：复合函数的导数是“外层导数”乘以“内层导数”，不能遗漏任何一层。
2. 多做练习题：通过不同类型的复合函数题目，熟练掌握各种函数的导数公式。
3. 注意符号和顺序：尤其是三角函数和指数函数的导数，符号容易出错。
4. 结合图像理解：通过图像分析复合函数的变化趋势，有助于加深对导数的理解。
六、总结
复合函数的求导是高中数学中非常重要的一部分，掌握好链式法则和各类常见函数的导数公式，能够帮助学生更高效地解决导数问题。通过反复练习与深入理解，可以有效提升数学成绩，并为后续的高等数学打下坚实的基础。
