【复合函数的奇偶性经典例题】在数学中，函数的奇偶性是研究函数对称性质的重要内容。而复合函数的奇偶性则是在此基础上进一步拓展的应用。掌握复合函数的奇偶性判断方法，有助于我们更深入地理解函数的对称性及其组合规律。
以下是一些关于“复合函数的奇偶性”的经典例题，并附有详细解析和结论总结。
一、经典例题与解析
| 题号 | 函数表达式 | 判断过程 | 结论 | ||||||
| 1 | $ f(x) = \sin(2x) $ | $ f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x) $ | 奇函数 | ||||||
| 2 | $ f(x) = \cos(x^2) $ | $ f(-x) = \cos((-x)^2) = \cos(x^2) = f(x) $ | 偶函数 | ||||||
| 3 | $ f(x) = \ln( | x | ) $ | $ f(-x) = \ln( | -x | ) = \ln( | x | ) = f(x) $ | 偶函数 |
| 4 | $ f(x) = x \cdot \sin(x) $ | $ f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = -x \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x = f(x) $ | 偶函数 | ||||||
| 5 | $ f(x) = e^{x} + e^{-x} $ | $ f(-x) = e^{-x} + e^{x} = f(x) $ | 偶函数 | ||||||
| 6 | $ f(x) = \frac{1}{x} + x $ | $ f(-x) = \frac{1}{-x} + (-x) = -\left(\frac{1}{x} + x\right) = -f(x) $ | 奇函数 | ||||||
| 7 | $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $ | $ f(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 1} = \sqrt{x^2 + 1} = f(x) $ | 偶函数 | ||||||
| 8 | $ f(x) = \tan(x^3) $ | $ f(-x) = \tan((-x)^3) = \tan(-x^3) = -\tan(x^3) = -f(x) $ | 奇函数 | ||||||
| 9 | $ f(x) = \frac{x^2}{\cos(x)} $ | $ f(-x) = \frac{(-x)^2}{\cos(-x)} = \frac{x^2}{\cos(x)} = f(x) $ | 偶函数 | ||||||
| 10 | $ f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) $ | $ f(-x) = \log(-x + \sqrt{x^2 + 1}) $，观察发现：$ -x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} $，因此 $ f(-x) = -\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x) $ | 奇函数 |
二、总结
通过以上例题可以看出，复合函数的奇偶性主要取决于其内部函数和外部函数的奇偶性组合关系：
- 若内函数为偶函数，外函数也为偶函数，则整体为偶函数；
- 若内函数为奇函数，外函数为奇函数，则整体为奇函数；
- 若内函数为奇函数，外函数为偶函数，或反之，则整体为偶函数；
- 若内外函数奇偶性不一致，需具体代入验证。
在实际应用中，可以通过代入 $ f(-x) $ 并与 $ f(x) $ 进行比较来判断函数的奇偶性。
关键词：复合函数、奇偶性、例题解析、函数对称性
