【复合函数求导公式是什么】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。当我们面对一个由多个函数组合而成的复杂函数时，比如 $ y = f(g(x)) $，就需要使用“链式法则”来进行求导。下面将对复合函数的求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是由两个或多个函数嵌套组成的函数，例如：
- $ y = \sin(2x) $ 是由 $ y = \sin(u) $ 和 $ u = 2x $ 组成的复合函数
- $ y = e^{\cos(x)} $ 是由 $ y = e^u $ 和 $ u = \cos(x) $ 组成的复合函数
对于这类函数，不能直接对整体求导，而需要分步进行，这就是复合函数的求导法则——链式法则。
二、复合函数求导公式（链式法则）
若函数 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、常见复合函数的求导示例
| 复合函数 | 内部函数 | 外部函数 | 导数公式 | 示例计算 |
| $ y = \sin(3x) $ | $ u = 3x $ | $ y = \sin(u) $ | $ \cos(u) \cdot 3 $ | $ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $ |
| $ y = (x^2 + 1)^5 $ | $ u = x^2 + 1 $ | $ y = u^5 $ | $ 5u^4 \cdot 2x $ | $ 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $ |
| $ y = e^{x^3} $ | $ u = x^3 $ | $ y = e^u $ | $ e^u \cdot 3x^2 $ | $ e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3} $ |
| $ y = \ln(\tan(x)) $ | $ u = \tan(x) $ | $ y = \ln(u) $ | $ \frac{1}{u} \cdot \sec^2(x) $ | $ \frac{1}{\tan(x)} \cdot \sec^2(x) = \frac{\sec^2(x)}{\tan(x)} $ |
四、注意事项
1. 识别内外函数：首先要明确哪个是内部函数，哪个是外部函数。
2. 逐层求导：如果有多个嵌套层次，需从外到内逐层应用链式法则。
3. 注意符号与运算顺序：特别是在涉及三角函数、指数函数和对数函数时，要特别小心导数的表达方式。
五、总结
复合函数的求导本质上是通过链式法则来实现的，其核心思想是“分步求导，逐层相乘”。掌握这一方法不仅有助于解决复杂的数学问题，还能提升对函数结构的理解能力。通过上述表格中的例子，可以更直观地理解不同类型的复合函数是如何求导的。
