【等差数列的通项公式】在数列的学习中，等差数列是一个非常基础且重要的概念。它不仅在数学中有广泛应用，也在实际生活中经常出现。理解等差数列的通项公式是掌握其性质和应用的关键。
一、什么是等差数列？
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为公差，通常用字母 d 表示。例如：
- 数列：2, 5, 8, 11, 14, …
这是一个公差为3的等差数列。
二、等差数列的通项公式
等差数列的第 n 项（即通项）可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 n 项的值；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
三、通项公式的应用举例
我们通过几个例子来说明如何使用这个公式。
| 项数 n | 首项 a₁ | 公差 d | 第n项 aₙ = a₁ + (n−1)d |
| 1 | 3 | 2 | 3 + (1−1)×2 = 3 |
| 2 | 3 | 2 | 3 + (2−1)×2 = 5 |
| 3 | 3 | 2 | 3 + (3−1)×2 = 7 |
| 4 | 3 | 2 | 3 + (4−1)×2 = 9 |
| 5 | 3 | 2 | 3 + (5−1)×2 = 11 |
如上表所示，当首项为3，公差为2时，数列依次为：3, 5, 7, 9, 11……
四、通项公式的推导思路
等差数列的通项公式可以通过观察数列的变化规律得出：
- 第1项：$ a_1 $
- 第2项：$ a_1 + d $
- 第3项：$ a_1 + 2d $
- 第4项：$ a_1 + 3d $
- ...
- 第n项：$ a_1 + (n - 1)d $
可以看出，每一项都是首项加上（n - 1）个公差，因此得到通项公式。
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值的数列 |
| 公差 | 用 d 表示，是相邻两项的差 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 应用 | 可用于求任意项的值或判断某数是否属于该数列 |
| 推导方式 | 通过观察数列的递增规律得出 |
通过掌握等差数列的通项公式，我们可以更方便地分析和解决相关的数学问题。希望这篇文章能帮助你更好地理解和运用这一重要知识点。
