【等差等比数列求和公式是什么】在数学中，数列是一个重要的概念，尤其在高中阶段的数学学习中，等差数列和等比数列是两个基本且常见的数列类型。它们的求和公式是解决相关问题的关键工具。以下是对等差数列与等比数列求和公式的总结。
一、等差数列求和公式
定义：
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数（称为公差）的数列。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。
求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- 公式适用于任意有限项的等差数列。
二、等比数列求和公式
定义：
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数（称为公比）的数列。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
说明：
- 当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时 $ S_n = n \cdot a_1 $；
- 公式适用于有限项的等比数列。
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ \frac{r^n - 1}{r - 1} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | $ r = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ | $ r = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ |
通过以上内容可以看出，等差数列与等比数列虽然结构不同，但它们的求和方法各有特点。掌握这些公式不仅有助于解题，也能加深对数列规律的理解。
