在高等数学的学习中，尤其是准备考研的过程中，掌握一些常见的等价无穷小公式是非常重要的。这些公式能够帮助我们简化复杂的极限计算问题，节省大量的时间与精力。接下来，我们将详细介绍一些在考研复习中经常用到的等价无穷小公式。

一、基本等价无穷小关系

1. 当x趋近于0时

- sin(x) ~ x

- tan(x) ~ x

- arcsin(x) ~ x

- arctan(x) ~ x

- e^x - 1 ~ x

- ln(1+x) ~ x

- (1+x)^a - 1 ~ ax

以上公式是考研数学中最基础且最常用的等价无穷小替换规则。它们的核心思想是在x足够接近0的情况下，某些复杂函数可以用简单的线性函数来近似替代，从而大大简化计算过程。

二、结合常见函数的扩展应用

2. 当x趋近于0时

- cos(x) - 1 ~ -x²/2

- (1+x)^a - 1 - ax ~ (a(a-1)/2)x²

这些扩展公式可以用来处理更高阶的小量关系，尤其是在涉及泰勒展开或幂级数的题目中非常有用。

3. 当x趋近于无穷大时

- sin(1/x) ~ 1/x

- tan(1/x) ~ 1/x

- arcsin(1/x) ~ 1/x

- arctan(1/x) ~ π/2 - 1/x

这类公式适用于无穷大的情况，特别是在处理分式极限时尤为关键。

三、实际应用场景示例

示例1：求解极限问题

计算以下极限：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}

\]

根据公式sin(x) ~ x，我们可以将分子中的sin(x)替换为x，从而得到：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3} = 0

\]

示例2：处理复合函数

计算以下极限：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}

\]

利用公式e^x - 1 ~ x，我们可以将e^(2x) - 1替换为2x，从而得到：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 = 2

\]

四、注意事项

1. 等价无穷小替换仅适用于乘除运算，不能用于加减运算。例如，不能直接将sin(x) + x替换为2x。

2. 在使用等价无穷小替换时，需要确保变量的极限条件成立（如x→0或x→∞）。

3. 如果题目中存在多个变量或复杂的表达式，应先化简再进行替换，避免出现错误。

通过熟练掌握上述公式及其应用场景，考生可以在考研数学中更加游刃有余地应对极限计算问题。希望本文能对大家的复习有所帮助！