【高中平面向量的夹角公式】在高中数学中，平面向量的夹角公式是向量运算中的一个重要知识点，广泛应用于几何、物理以及解析几何等领域。通过该公式，我们可以计算两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们的方向关系。

一、夹角公式的定义

设向量 a = (x₁, y₁) 和向量 b = (x₂, y₂)，则它们之间的夹角 θ（θ ∈ [0°, 180°]）可以通过以下公式计算：

$$

\cos \theta = \frac{a \cdot b}{a \cdot b}

$$

其中：

- $ a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 $ 是向量的点积；

- $ a = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $ 是向量 a 的模长；

- $ b = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} $ 是向量 b 的模长。

二、夹角公式的使用步骤

1. 计算两个向量的点积；

2. 分别计算两个向量的模长；

3. 将点积除以两个模长的乘积，得到余弦值；

4. 利用反余弦函数（arccos）求出角度 θ。

三、常见问题与注意事项

四、典型例题解析

例题：

已知向量 a = (3, 4)，b = (1, 2)，求它们之间的夹角。

解：

1. 点积：$ a \cdot b = 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11 $

2. 模长：

- $ a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

- $ b = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $

3. 余弦值：

$$

\cos \theta = \frac{11}{5 \times \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}}

$$

4. 夹角：

$$

\theta = \arccos\left( \frac{11}{5\sqrt{5}} \right) \approx 29.74^\circ

$$

五、总结表格

通过掌握平面向量的夹角公式，可以更深入地理解向量之间的方向关系，并在实际问题中灵活运用。建议多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。