【高中两角和差公式】在高中数学中，两角和差公式是三角函数的重要内容之一，广泛应用于三角恒等变换、解三角形以及一些实际问题的求解中。掌握这些公式不仅有助于提高计算能力，还能加深对三角函数性质的理解。
一、两角和差公式的定义与基本内容
两角和差公式指的是两个角的正弦、余弦和正切之间的关系，主要包括以下几种形式：
1. 两角和的正弦公式
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
2. 两角差的正弦公式
$$
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
3. 两角和的余弦公式
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
4. 两角差的余弦公式
$$
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$$
5. 两角和的正切公式
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
$$
6. 两角差的正切公式
$$
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
$$
二、公式总结表
| 公式类型 | 公式表达式 | 注意事项 |
| 正弦和公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ | 顺序不可颠倒 |
| 正弦差公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ | 减号对应差 |
| 余弦和公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ | 乘积减去乘积 |
| 余弦差公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ | 加号对应差 |
| 正切和公式 | $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ | 分母不能为零 |
| 正切差公式 | $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ | 分母符号不同 |
三、应用举例
- 例1： 计算 $\sin(45^\circ + 30^\circ)$
使用公式 $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\sin(75^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
- 例2： 计算 $\tan(45^\circ - 30^\circ)$
使用公式 $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$
$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$（可进一步化简）
四、学习建议
1. 理解推导过程：了解公式是如何从单位圆或几何图形中推导出来的，有助于记忆和应用。
2. 多做练习题：通过大量练习来熟悉公式的使用方法和变形技巧。
3. 注意符号变化：特别是在处理差角时，符号的变化容易出错，需格外小心。
4. 结合图像理解：利用单位圆或三角函数图像帮助理解公式的意义。
通过系统地学习和运用两角和差公式，可以更灵活地解决各种三角函数问题，提升数学思维能力和解题效率。
