【概率论五大基本公式】在概率论的学习与应用中，掌握一些基本的公式是理解随机事件和概率分布的关键。以下是概率论中最为重要的五大基本公式，它们不仅构成了概率理论的基础，也在实际问题中广泛应用。

一、加法公式（Addition Rule）

适用场景：计算两个或多个互斥事件至少发生一个的概率。

公式：

- 若事件 $ A $ 和 $ B $ 互斥，则：

$$

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

$$

- 若事件 $ A $ 和 $ B $ 不互斥，则：

$$

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$$

二、乘法公式（Multiplication Rule）

适用场景：计算两个事件同时发生的概率。

公式：

- 若事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，则：

$$

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

$$

- 若事件 $ A $ 和 $ B $ 不独立，则：

$$

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(BA)

$$

或

$$

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(AB)

$$

三、全概率公式（Law of Total Probability）

适用场景：当已知某个事件在不同条件下发生的概率时，求该事件的总概率。

公式：

设 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一个完备事件组（即互斥且并集为全集），则对任意事件 $ A $，有：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

四、贝叶斯公式（Bayes' Theorem）

适用场景：在已知某结果发生的前提下，求某一原因发生的概率。

公式：

$$

P(B_iA) = \frac{P(B_i) \cdot P(AB_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(AB_j)}

$$

其中 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一个完备事件组。

五、条件概率公式（Conditional Probability）

适用场景：在已知某事件发生的情况下，求另一事件发生的概率。

公式：

$$

P(AB) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{其中 } P(B) > 0

$$

总结表格

这些公式不仅是概率论学习的基石，也是统计学、机器学习、金融分析等众多领域的重要工具。熟练掌握并灵活运用这五大公式，有助于更深入地理解和解决实际中的概率问题。