【概率公式大全】在数学与统计学中，概率论是研究随机事件发生可能性的学科。掌握常用概率公式对于理解随机现象、进行数据分析和做出科学决策具有重要意义。本文将总结常见的概率公式，并以表格形式呈现，便于查阅与学习。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 随机事件 | 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 |
| 样本空间 | 所有可能结果的集合，记为 $ S $。 |
| 事件 | 样本空间的一个子集，记为 $ A, B, C $ 等。 |
| 概率 | 表示事件发生的可能性大小，记为 $ P(A) $。 |
二、基本概率公式
| 公式 | 描述 |
| $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | 古典概型下事件 $ A $ 的概率，其中 $ n(A) $ 是事件 $ A $ 发生的次数，$ n(S) $ 是样本空间的总次数。 |
| $ 0 \leq P(A) \leq 1 $ | 概率的范围限制。 |
| $ P(S) = 1 $ | 样本空间的概率为 1。 |
| $ P(\emptyset) = 0 $ | 不可能事件的概率为 0。 |
三、加法公式
| 公式 | 描述 |
| $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两个事件的并集概率。 |
| $ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) $ | 三个事件的并集概率。 |
| $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $（若 $ A $ 与 $ B $ 互斥） | 若两事件互斥，则直接相加。 |
四、乘法公式
| 公式 | 描述 | |
| $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) $ | 条件概率下的乘法公式。 |
| $ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B) $ | 对称形式。 |
| $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $（若 $ A $ 与 $ B $ 独立） | 若两事件独立，则可直接相乘。 |
五、条件概率
| 公式 | 描述 | |
| $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 已知事件 $ B $ 发生的情况下，事件 $ A $ 发生的概率。 |
| $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 对称形式。 |
六、全概率公式
| 公式 | 描述 | |
| $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i) $ | 若 $ B_1, B_2, ..., B_n $ 是一个完备事件组，则事件 $ A $ 的概率可表示为各条件概率的加权和。 |
七、贝叶斯公式
| 公式 | 描述 | |||
| $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A | B_j)} $ | 用于在已知事件 $ A $ 发生的情况下，求某特定事件 $ B_i $ 发生的概率。 |
八、期望与方差
| 公式 | 描述 |
| $ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $ | 离散随机变量的期望值。 |
| $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 方差的定义。 |
| $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 方差的另一种计算方式。 |
九、常见分布的概率公式
| 分布类型 | 概率质量函数或密度函数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
十、总结
概率公式是理解和分析随机现象的基础工具。通过掌握这些公式，可以更好地处理实际问题中的不确定性，如风险评估、统计推断、机器学习等。建议结合实例进行练习，以加深对公式的理解和应用能力。
如需进一步了解某类分布或具体应用案例，可继续深入探讨。
