【高中数学必修4三角函数公式大全】在高中数学必修4中，三角函数是重要内容之一。它不仅涉及角度与三角函数值之间的关系，还广泛应用于解三角形、周期性现象的分析以及实际问题的建模中。为了帮助同学们更好地掌握和记忆相关公式，本文将对必修4中的主要三角函数公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和复习。
一、基本概念
1. 角的定义
- 角是由一条射线绕其端点旋转所形成的图形。
- 弧度制：1弧度 = 180°/π ≈ 57.3°
2. 单位圆
- 单位圆是以原点为圆心、半径为1的圆，用于表示任意角的三角函数值。
3. 三角函数定义（基于单位圆）
- 设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x (x ≠ 0)
- cotα = x/y (y ≠ 0)
- secα = 1/x (x ≠ 0)
- cscα = 1/y (y ≠ 0)
二、常用公式汇总
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 基本关系式 | sin²α + cos²α = 1 | 平方关系 |
| tanα = sinα / cosα | 商数关系 | |
| cotα = cosα / sinα | 商数关系 | |
| 1 + tan²α = sec²α | 倒数关系 | |
| 1 + cot²α = csc²α | 倒数关系 | |
| 诱导公式（角度与单位圆上的对称关系） | sin(-α) = -sinα | 奇函数性质 |
| cos(-α) = cosα | 偶函数性质 | |
| sin(π - α) = sinα | 对称于y轴 | |
| cos(π - α) = -cosα | 对称于y轴 | |
| sin(π + α) = -sinα | 对称于原点 | |
| cos(π + α) = -cosα | 对称于原点 | |
| sin(2π - α) = -sinα | 对称于x轴 | |
| cos(2π - α) = cosα | 对称于x轴 | |
| 和差角公式 | sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ | 和差角公式 |
| cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ | 和差角公式 | |
| tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) | 和差角公式 | |
| 倍角公式 | sin2α = 2sinαcosα | 二倍角公式 |
| cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α | 二倍角公式 | |
| tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) | 二倍角公式 | |
| 半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] | 半角公式 |
| cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] | 半角公式 | |
| tan(α/2) = (1 - cosα)/sinα = sinα/(1 + cosα) | 半角公式 | |
| 积化和差公式 | sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α-β)] / 2 | 积化和差 |
| cosαcosβ = [cos(α+β) + cos(α-β)] / 2 | 积化和差 | |
| sinαsinβ = [cos(α-β) - cos(α+β)] / 2 | 积化和差 | |
| 和差化积公式 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积 |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | 和差化积 | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 和差化积 | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | 和差化积 |
三、常见角度的三角函数值（0° ~ 360°）
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -1/√3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | 1/√3 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | 无意义 |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | 1/2 | -√3 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | √2/2 | -1 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | √3/2 | -1/√3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
四、小结
三角函数是高中数学的重要组成部分，掌握好这些公式对于解决各种三角问题至关重要。通过理解公式的推导过程和应用场景，可以更灵活地运用它们解决问题。建议同学们结合图像、单位圆和实际例子进行练习，加深对三角函数的理解和记忆。
