【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度值，可以通过三角恒等式进行计算。由于75°可以表示为45°与30°的和，因此可以利用正切的加法公式来求解其精确值，并以保留根号的形式呈现。
一、公式推导
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}
$$
分子分母同时乘以 $ \sqrt{3} $，得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了进一步化简，我们可以对分母有理化：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、总结
通过上述推导可知，tan75°的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，保留了根号形式，符合题目要求。
三、表格展示
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $ 2 + \sqrt{3} $ |
通过这种方式，我们不仅得到了tan75°的准确表达式，还避免了使用近似值，保持了数学上的严谨性。
