【tan75度等于多少】在三角函数中，正切（tan）是一个常用的函数，用于表示直角三角形中对边与邻边的比值。对于一些特殊角度，如30度、45度、60度等，我们可以直接计算出它们的正切值。而对于像75度这样的角度，虽然不是常见的特殊角，但也可以通过三角恒等式进行计算。
一、tan75度的计算方法
75度可以看作是45度和30度的和，因此可以利用正切的和角公式来计算：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
为了简化分母，可将分子和分母同时乘以 $ 3 + \sqrt{3} $：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
所以，最终结果为：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
二、tan75度的数值近似值
如果需要一个近似值，可以使用计算器或已知的无理数近似值进行计算：
- $ \sqrt{3} \approx 1.732 $
- 因此，$ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732 $
三、总结
| 角度 | 正切值（精确表达式） | 正切值（近似值） |
| 75° | $ 2 + \sqrt{3} $ | 约 3.732 |
通过上述分析可以看出，tan75度的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，而其近似值约为3.732。这一结果可以通过三角恒等式推导得出，适用于数学、物理和工程等领域中的相关计算。
