【洛必达法则例题】洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中用于求解不定型极限的一种重要方法，尤其适用于0/0或∞/∞形式的极限。该法则由法国数学家洛必达提出，广泛应用于函数极限、导数和积分等领域的计算中。
以下是一些经典的洛必达法则例题及其解答过程，通过总结与表格形式呈现，便于理解和复习。
一、例题总结
1. 例题1：
求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
- 分析：当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于0，属于0/0型。
- 解法：使用洛必达法则，对分子和分母分别求导。
- 结果：$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$
2. 例题2：
求 $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$
- 分析：当 $x \to \infty$ 时，分子趋于无穷大，分母也趋于无穷大，属于∞/∞型。
- 解法：应用洛必达法则两次。
- 结果：$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2} = \infty$
3. 例题3：
求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
- 分析：当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于0，属于0/0型。
- 解法：使用洛必达法则一次。
- 结果：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2}$
4. 例题4：
求 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$
- 分析：当 $x \to 1$ 时，分子和分母都为0，属于0/0型。
- 解法：应用洛必达法则。
- 结果：$\lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}$
5. 例题5：
求 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$
- 分析：当 $x \to 0^+$ 时，分子趋于负无穷，分母趋于0，属于-∞/0型，但可转化为∞/∞。
- 解法：应用洛必达法则。
- 结果：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \lim_{x \to 0^+} 2\sqrt{x} = 0$
二、例题汇总表
| 题号 | 极限表达式 | 型式 | 使用洛必达次数 | 最终结果 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 0/0 | 1 | 1 |
| 2 | $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$ | ∞/∞ | 2 | ∞ |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | 0/0 | 1 | 1/2 |
| 4 | $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ | 0/0 | 1 | 3/2 |
| 5 | $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ | ∞/∞ | 1 | 0 |
三、注意事项
- 洛必达法则仅适用于0/0或∞/∞型的极限，其他类型如$\infty - \infty$、$0 \cdot \infty$等需先进行变形后再应用。
- 应用洛必达法则后，若仍为不定型，可继续使用，直到得到确定结果为止。
- 在某些情况下，使用洛必达法则可能导致复杂度增加，此时可考虑其他方法如泰勒展开、等价无穷小替换等。
通过以上例题和表格的整理，可以清晰地看到洛必达法则在不同情况下的应用方式及效果。掌握这些典型问题，有助于提高对极限计算的理解与熟练程度。
