【角动量与转动惯量的公式】在物理学中，角动量和转动惯量是描述物体旋转运动的重要概念。它们在经典力学、天体物理以及工程学中都有广泛的应用。理解这两个物理量之间的关系，有助于更深入地掌握物体绕轴旋转时的动力学行为。
一、角动量（Angular Momentum）
角动量是描述物体绕某一点或某一轴旋转时所具有的“旋转动量”。它的大小取决于物体的质量、速度以及其相对于旋转轴的位置。
定义公式：
$$
L = r \times p
$$
其中：
- $ L $ 是角动量；
- $ r $ 是物体到旋转轴的距离（矢量）；
- $ p $ 是物体的线动量（$ p = mv $）。
对于刚体绕固定轴旋转的情况，角动量可以简化为：
$$
L = I\omega
$$
其中：
- $ I $ 是转动惯量；
- $ \omega $ 是角速度。
二、转动惯量（Moment of Inertia）
转动惯量是物体对旋转运动的“惯性”度量，类似于质量在直线运动中的作用。它不仅取决于物体的质量，还取决于质量分布相对于旋转轴的位置。
定义公式：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中：
- $ m_i $ 是物体各部分的质量；
- $ r_i $ 是该部分到旋转轴的距离。
对于连续物体，转动惯量的表达式为：
$$
I = \int r^2 dm
$$
三、常见物体的转动惯量公式
以下是一些常见几何形状物体绕其对称轴旋转时的转动惯量公式：
| 物体形状 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 实心圆柱体（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ | $ m $ 为质量，$ r $ 为半径 |
| 空心圆柱体（绕中心轴） | $ I = mr^2 $ | 与实心圆柱体相比，质量集中在边缘 |
| 实心球体（绕通过中心的轴） | $ I = \frac{2}{5}mr^2 $ | 质量均匀分布 |
| 空心球体（绕通过中心的轴） | $ I = \frac{2}{3}mr^2 $ | 质量集中在表面 |
| 细长杆（绕中心垂直轴） | $ I = \frac{1}{12}mL^2 $ | $ L $ 为杆长 |
| 细长杆（绕端点垂直轴） | $ I = \frac{1}{3}mL^2 $ | 转动轴位于杆的一端 |
四、角动量与转动惯量的关系
角动量 $ L $ 和转动惯量 $ I $ 的关系如下：
$$
L = I\omega
$$
这表明，当物体的转动惯量增大时，在相同角速度下，其角动量也会增大。反之，若角速度增加，角动量也会随之增加。
此外，根据角动量守恒定律，若没有外力矩作用，系统的总角动量保持不变。这意味着，当物体的转动惯量发生变化时，其角速度将相应变化以维持角动量守恒。
五、总结
角动量和转动惯量是研究旋转运动的关键物理量。角动量描述了物体旋转的“动量”，而转动惯量则反映了物体抵抗旋转变化的能力。两者之间存在直接的数学关系，并且在不同形状物体中有不同的计算方式。了解这些公式有助于在实际问题中分析和预测物体的旋转行为。
| 关键词 | 公式 | 说明 |
| 角动量 | $ L = I\omega $ | 描述旋转动量 |
| 转动惯量 | $ I = \sum m_i r_i^2 $ | 表示物体对旋转的阻力 |
| 角动量守恒 | $ L_{\text{初始}} = L_{\text{最终}} $ | 在无外力矩情况下成立 |
| 常见物体转动惯量 | 各种形状的公式 | 取决于质量和分布 |
