【高数导数公式】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式对于理解和解决微积分问题至关重要。以下是对常见导数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法法则 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
设 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
四、隐函数求导与对数求导法
对于由方程隐含定义的函数，如 $ F(x, y) = 0 $，可两边对 $ x $ 求导，再解出 $ \frac{dy}{dx} $。
对于幂指函数或复杂函数，可先取自然对数，再进行求导，如：
设 $ y = x^x $，则两边取对数得 $ \ln y = x \ln x $，再求导得：
$$
\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1 \Rightarrow y' = x^x (\ln x + 1)
$$
五、高阶导数简介
函数的二阶导数表示导数的变化率，记作 $ y'' $ 或 $ \frac{d^2y}{dx^2} $，依此类推。某些函数的高阶导数存在规律，如：
- $ y = e^x $，其任意阶导数均为 $ e^x $
- $ y = \sin x $，其二阶导数为 $ -\sin x $，周期性变化
总结
导数是微积分的核心概念之一，掌握其基本公式和运算规则是学习高等数学的基础。通过熟练应用导数公式，可以更高效地解决函数极值、单调性、曲线斜率等问题。建议结合练习题加深理解，并灵活运用链式法则、隐函数求导等方法，提升解题能力。
