【复合函数如何求导公式高三课程上的】在高中数学中，复合函数的求导是一个重要的知识点，尤其在高三阶段的学习中，学生需要掌握这一内容以应对高考和后续的高等数学学习。复合函数的求导主要涉及“链式法则”，这是微积分中的基本工具之一。
一、复合函数的基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则可以构成一个复合函数：
$$ y = f(g(x)) $$
其中，$ y $ 是关于 $ x $ 的函数，而 $ u $ 是中间变量。
二、复合函数的求导方法——链式法则
链式法则是求复合函数导数的核心方法。其基本思想是：
> 如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，那么 $ y $ 关于 $ x $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
y' = f'(u) \cdot g'(x)
$$
三、常见复合函数类型及求导公式总结
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 链式法则直接应用 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ y' = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的链式法则 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ y' = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ y' = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ y' = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的导数 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ y' = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的导数 |
| $ y = a^{g(x)} $ | $ y' = a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) $ | 指数函数（底数为常数） |
四、使用技巧与注意事项
1. 识别中间变量：在计算复合函数导数时，首先要明确哪个是内层函数，哪个是外层函数。
2. 分步计算：先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
3. 注意符号变化：如正弦函数的导数是负的余弦函数，需特别注意。
4. 多次复合时应用链式法则多次：如 $ y = f(g(h(x))) $，则导数为 $ f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) $。
五、例题解析
例题1：求 $ y = (2x + 3)^5 $ 的导数。
解：
设 $ u = 2x + 3 $，则 $ y = u^5 $
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4
$$
例题2：求 $ y = \sin(3x^2) $ 的导数。
解：
设 $ u = 3x^2 $，则 $ y = \sin(u) $
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2)
$$
六、总结
复合函数的求导是高中数学的重要内容，掌握链式法则并灵活运用是关键。通过表格形式总结各类常见复合函数的导数公式，有助于记忆和理解。同时，在实际练习中应注重步骤清晰、逻辑严谨，避免因忽略中间变量而导致错误。
原创声明：本文内容基于高三数学教学知识整理，结合常见题型与公式，旨在帮助学生系统掌握复合函数的求导方法。
