在数学中，克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于求解线性方程组的方法。它利用行列式的性质来直接得出未知数的值，而无需经过复杂的消元或迭代过程。这种方法特别适用于系数矩阵为方阵且其行列式不为零的情况。然而，由于计算量较大，克拉默法则通常只适合处理变量较少的线性方程组。
克拉默法则的基本原理
假设我们有一个含有 \( n \) 个未知数和 \( n \) 个方程的线性方程组：
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
\]
其中，\( A = (a_{ij}) \) 是系数矩阵，\( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \) 是未知向量，\( \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T \) 是常数向量。
克拉默法则的核心思想是通过构造一个新的矩阵 \( A_k \)，即将系数矩阵 \( A \) 的第 \( k \) 列替换为常数向量 \( \mathbf{b} \)，然后计算其行列式。未知数 \( x_k \) 的值可以通过以下公式得到：
\[
x_k = \frac{\det(A_k)}{\det(A)}
\]
这里，\( \det(A) \neq 0 \) 是使用克拉默法则的前提条件，表示系数矩阵可逆。
使用克拉默法则的具体步骤
以一个具体的例子来说明如何应用克拉默法则。考虑如下三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
2x + y - z = 3 \\
x - y + 2z = -1 \\
3x + 2y - z = 4
\end{cases}
\]
第一步：写出系数矩阵和常数向量
系数矩阵 \( A \) 和常数向量 \( \mathbf{b} \) 分别为：
\[
A =
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 2 & -1
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
4
\end{pmatrix}.
\]
第二步：计算主行列式 \( \det(A) \)
\[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= 2 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix}
- 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & -1
\end{vmatrix}
+ (-1) \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{vmatrix}.
\]
逐项计算子行列式：
\[
\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix} = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3,
\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & -1
\end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(3) = -1 - 6 = -7,
\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
3 & 2
\end{vmatrix} = (1)(2) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5.
\]
因此，
\[
\det(A) = 2(-3) - 1(-7) + (-1)(5) = -6 + 7 - 5 = -4.
\]
第三步：构造替代矩阵并计算行列式
接下来，分别构造 \( A_1 \)、\( A_2 \) 和 \( A_3 \)，并将 \( \mathbf{b} \) 替换到对应的列上。
1. 计算 \( \det(A_1) \)
\[
A_1 =
\begin{pmatrix}
3 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 2 \\
4 & 2 & -1
\end{pmatrix},
\]
\[
\det(A_1) =
\begin{vmatrix}
3 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 2 \\
4 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= 3 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix}
- 1 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
4 & -1
\end{vmatrix}
+ (-1) \cdot \begin{vmatrix}
-1 & -1 \\
4 & 2
\end{vmatrix}.
\]
继续计算子行列式：
\[
\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix} = -3, \quad
\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
4 & -1
\end{vmatrix} = 9, \quad
\begin{vmatrix}
-1 & -1 \\
4 & 2
\end{vmatrix} = -2.
\]
因此，
\[
\det(A_1) = 3(-3) - 1(9) + (-1)(-2) = -9 - 9 + 2 = -16.
\]
2. 计算 \( \det(A_2) \)
类似地，可以计算出 \( \det(A_2) = -8 \) 和 \( \det(A_3) = -4 \)。
第四步：求解未知数
根据克拉默法则，未知数 \( x_1, x_2, x_3 \) 的值分别为：
\[
x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-16}{-4} = 4,
\]
\[
x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-8}{-4} = 2,
\]
\[
x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-4}{-4} = 1.
\]
最终解为：
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 1.
\]
总结
克拉默法则是一种优雅且直观的方法，尤其适用于理论推导和小规模问题的解决。然而，当方程组的规模增大时，计算行列式的复杂度会迅速增加，因此实际应用中通常需要结合其他数值方法。希望本文能够帮助你理解克拉默法则及其具体应用！
