【行列式的几个重要公式】在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还在解线性方程组、计算特征值等方面有广泛应用。本文将总结行列式的几个重要公式，并通过表格形式进行归纳，便于理解和记忆。
一、行列式的定义与基本性质
行列式是对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，定义为：
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中，$ \sigma $ 是 $ \{1, 2, \ldots, n\} $ 的排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列的奇偶性（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
二、行列式的几个重要公式
| 公式编号 | 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 1 | 余子式展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ 或 $ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ | 按行或列展开，$ C_{ij} $ 为 $ a_{ij} $ 的余子式 |
| 2 | 对角矩阵行列式 | $ \det(\text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)) = a_1 a_2 \cdots a_n $ | 对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积 |
| 3 | 上三角/下三角矩阵 | $ \det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} $ | 上三角或下三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积 |
| 4 | 矩阵乘法的行列式 | $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $ | 两个矩阵相乘后的行列式等于各自行列式的乘积 |
| 5 | 转置矩阵的行列式 | $ \det(A^T) = \det(A) $ | 矩阵与其转置的行列式相等 |
| 6 | 伴随矩阵与行列式 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I $ | 伴随矩阵与原矩阵相乘等于行列式乘以单位矩阵 |
| 7 | 可逆矩阵的条件 | $ A $ 可逆当且仅当 $ \det(A) \neq 0 $ | 行列式不为零是矩阵可逆的充要条件 |
| 8 | 分块矩阵的行列式 | 若 $ A $ 和 $ B $ 为方阵，则 $ \det\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = \det(A)\det(B) $ | 分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积 |
三、行列式的应用
1. 解线性方程组：利用克莱姆法则，可以求解线性方程组的唯一解。
2. 判断矩阵是否可逆：行列式不为零时，矩阵可逆。
3. 计算特征值：特征多项式为 $ \det(A - \lambda I) $，其根即为特征值。
4. 几何意义：行列式的绝对值表示由向量组成的平行多面体的体积。
四、小结
行列式是线性代数中的核心工具之一，掌握其重要公式有助于更深入地理解矩阵的性质和应用。通过上述表格，我们可以清晰地看到不同情况下行列式的计算方式及其应用场景。在实际问题中，灵活运用这些公式能够大大提高解题效率和准确性。
如需进一步了解具体公式的推导过程或应用实例，欢迎继续提问。
