【高斯求和公式求末项】在数学中，高斯求和公式是用于快速计算等差数列前n项和的工具。该公式由德国数学家高斯提出，广泛应用于数列求和问题中。其基本形式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
其中，$ S_n $ 表示前n项的和，$ a_1 $ 是首项，$ a_n $ 是末项，n是项数。
在实际应用中，有时已知首项、项数和总和，但不知道末项是多少。此时，可以通过高斯求和公式反推出末项的值。
一、公式推导
根据高斯求和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
将公式变形，解出 $ a_n $：
$$
a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1
$$
这就是通过已知首项 $ a_1 $、项数 n 和总和 $ S_n $ 求末项 $ a_n $ 的公式。
二、使用方法总结
| 已知条件 | 公式表达 | 说明 |
| 首项 $ a_1 $ | $ a_1 $ | 数列的第一个数 |
| 项数 $ n $ | $ n $ | 数列中共有n个数 |
| 总和 $ S_n $ | $ S_n $ | 前n项的总和 |
| 末项 $ a_n $ | $ a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1 $ | 根据高斯公式反推得出 |
三、举例说明
例题：
一个等差数列的首项为3，共有5项，总和为40，求末项是多少？
解答步骤：
1. 已知：
$ a_1 = 3 $
$ n = 5 $
$ S_n = 40 $
2. 代入公式：
$$
a_n = \frac{2 \times 40}{5} - 3 = \frac{80}{5} - 3 = 16 - 3 = 13
$$
答案：
末项为 13。
四、常见应用场景
- 等差数列求和问题
- 金融计算（如等额本息还款）
- 教育场景中的数学教学
- 数据分析中的序列计算
五、表格总结
| 参数 | 公式 | 说明 |
| 首项 | $ a_1 $ | 初始数值 |
| 项数 | $ n $ | 数列长度 |
| 总和 | $ S_n $ | 所有项的累加结果 |
| 末项 | $ a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1 $ | 根据已知数据反推得出 |
通过以上方法，可以快速、准确地利用高斯求和公式求出等差数列的末项，适用于多种实际问题。掌握这一技巧，有助于提升数学运算效率与逻辑思维能力。
