在物理学和数学中，最速曲线问题是一个经典的变分问题。它探讨的是从一点到另一点，在重力作用下沿何种曲线运动最快。这个问题的答案是著名的摆线（cycloid），即一个圆滚动时其上一点所形成的轨迹。

要证明这一点并不复杂。我们首先设定一些基本条件：假设两点之间的垂直高度差为h，且这两点位于同一铅垂线上。我们需要找到一条路径，使得物体从起点到终点所需的时间最短。

考虑任意形状的曲线y(x)，物体沿此曲线下滑时的速度v由能量守恒定律决定：

\[ v = \sqrt{2gy} \]

其中g为重力加速度，y是从起点算起的高度。

根据弧长公式，物体沿曲线移动的距离ds可以表示为：

\[ ds = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx \]

因此，物体沿曲线运动所需的时间T为积分形式：

\[ T = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}{\sqrt{2gy}} dx \]

为了使T达到最小值，我们应用变分法中的欧拉-拉格朗日方程来求解。令L表示被积函数：

\[ L = \frac{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}{\sqrt{2gy}} \]

对L关于y和\(\frac{dy}{dx}\)分别求偏导数，并代入欧拉-拉格朗日方程后进行计算，最终可以得出曲线满足的微分方程。通过进一步分析和变换，这个微分方程的解正是摆线方程。

综上所述，通过变分法的推导过程，我们可以证明最速曲线确实是摆线。这一结果不仅展示了数学工具的强大威力，也体现了自然界中隐藏着深刻的几何规律。