【复合函数定义域的求法.】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。理解复合函数的定义域是学习这一概念的重要环节。复合函数的定义域不仅取决于内部函数的定义域，还受到外部函数的影响。因此，掌握复合函数定义域的求法对于解决相关问题至关重要。
以下是对复合函数定义域求法的总结，并通过表格形式进行归纳和对比。
一、复合函数的基本概念
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在实数集上的函数，则它们的复合函数可以表示为：
- $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
- $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
其中，$ f \circ g $ 表示先对 $ x $ 应用 $ g $，再将结果代入 $ f $ 中；反之亦然。
二、复合函数定义域的求法
复合函数的定义域是使得整个复合过程有意义的所有自变量 $ x $ 的集合。具体来说，要满足以下条件：
1. 内部函数的定义域：即 $ g(x) $ 或 $ f(x) $ 必须有定义；
2. 外部函数的定义域：即 $ f(g(x)) $ 或 $ g(f(x)) $ 中的输入值必须在该函数的定义域内。
三、求解步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定内部函数的定义域。例如，若 $ g(x) $ 是一个分式函数，则需排除使分母为零的点；若含有平方根，则需保证被开方数非负。 |
| 2 | 将内部函数的结果作为外部函数的输入，确定外部函数的定义域。例如，若 $ f(x) $ 要求输入为正数，则需确保 $ g(x) > 0 $。 |
| 3 | 求出所有满足上述条件的 $ x $ 值，即为复合函数的定义域。 |
四、常见类型与示例
| 类型 | 示例 | 定义域求法 |
| 1. $ f(g(x)) $ | $ f(x) = \sqrt{x} $, $ g(x) = x^2 - 4 $ | 先求 $ g(x) $ 的定义域：全体实数；再求 $ f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 4} $，要求 $ x^2 - 4 \geq 0 $，即 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $ |
| 2. $ g(f(x)) $ | $ g(x) = \frac{1}{x} $, $ f(x) = \ln(x) $ | 先求 $ f(x) $ 的定义域：$ x > 0 $；再求 $ g(f(x)) = \frac{1}{\ln(x)} $，要求 $ \ln(x) \neq 0 $，即 $ x \neq 1 $；最终定义域为 $ x > 0 $ 且 $ x \neq 1 $ |
| 3. 多层复合 | $ h(x) = f(g(h(x))) $ | 分层分析，从最内层开始逐步求解各函数的定义域限制 |
五、注意事项
- 在处理分式、根号、对数等特殊函数时，要特别注意其定义域的限制；
- 若复合函数涉及多个层次，应逐层分析，避免遗漏条件；
- 使用区间表示法或不等式表示法清晰表达定义域。
通过以上方法和步骤，可以系统地求出复合函数的定义域，从而为后续的函数性质分析和图像绘制打下坚实基础。
