【基本求导公式18个】在微积分的学习过程中，求导是基础而重要的内容。掌握常见的基本求导公式，有助于快速解决各种函数的导数问题。以下是常用的18个基本求导公式，结合文字说明和表格形式进行总结，便于记忆与查阅。
一、基本求导公式总结
1. 常数函数的导数
常数的导数为0，表示没有变化。
2. 幂函数的导数
对于 $ x^n $ 的导数为 $ n \cdot x^{n-1} $，适用于所有实数 $ n $。
3. 指数函数的导数
$ e^x $ 的导数仍然是 $ e^x $，而 $ a^x $ 的导数为 $ a^x \ln a $。
4. 对数函数的导数
$ \ln x $ 的导数为 $ \frac{1}{x} $，而 $ \log_a x $ 的导数为 $ \frac{1}{x \ln a} $。
5. 三角函数的导数
正弦、余弦、正切等常见三角函数的导数需要熟练掌握。
6. 反三角函数的导数
如反正弦、反余弦、反正切等，其导数形式较为特殊，需特别注意。
7. 乘积法则
若 $ y = u \cdot v $，则导数为 $ y' = u'v + uv' $。
8. 商法则
若 $ y = \frac{u}{v} $，则导数为 $ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $。
9. 链式法则
若 $ y = f(g(x)) $，则导数为 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $。
10. 隐函数求导
当函数无法显式表达时，可以通过隐函数求导法求出导数。
11. 参数方程求导
若 $ x $ 和 $ y $ 都由一个参数 $ t $ 表示，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $。
12. 高阶导数
求导多次后得到的导数称为高阶导数，如二阶导数、三阶导数等。
13. 导数的应用
导数可以用于求极值、判断函数单调性、分析曲线形状等。
14. 导数的几何意义
导数表示函数在某一点的切线斜率。
15. 导数的物理意义
在物理学中，导数可以表示速度、加速度等变化率。
16. 导数与微分的关系
微分是导数的另一种表达方式，两者密切相关。
17. 导数的连续性
函数在某点可导的前提是该点连续，但连续不一定可导。
18. 导数的极限定义
导数的定义来源于极限，即 $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $。
二、基本求导公式表格
| 公式编号 | 函数表达式 | 导数表达式 |
| 1 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 2 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 3 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 4 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 5 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 6 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 7 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 8 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 9 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 10 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 11 | $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| 12 | $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| 13 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 14 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 15 | $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 16 | $ f(x) = \text{arccot} x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
| 17 | $ f(x) = u \cdot v $ | $ f'(x) = u'v + uv' $ |
| 18 | $ f(x) = \frac{u}{v} $ | $ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
以上就是18个常用的基本求导公式，涵盖了初等函数、复合函数、反函数以及一些基本的导数规则。掌握这些公式，不仅有助于提高解题效率，也为进一步学习微积分打下坚实的基础。
