【积分常用公式】在数学学习中，积分是一个非常重要的内容，尤其在微积分、物理和工程等领域应用广泛。掌握一些常用的积分公式，能够帮助我们更快地解决实际问题。以下是一些常见的积分公式总结，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 积分结果 | 说明 | ||
| $ \int x^n \, dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (n ≠ -1) | 幂函数积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| $ \int e^x \, dx $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ \int a^x \, dx $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ (a > 0, a ≠ 1) | 指数函数积分（底数为任意正数） | ||
| $ \int \sin x \, dx $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \int \cos x \, dx $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \int \sec^2 x \, dx $ | $ \tan x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \int \csc^2 x \, dx $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \int \sec x \tan x \, dx $ | $ \sec x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \int \csc x \cot x \, dx $ | $ -\csc x + C $ | 三角函数积分 |
二、有理函数积分公式
| 函数 | 积分结果 | 说明 | ||
| $ \int \frac{1}{ax + b} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ | 线性分式积分 |
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ | 分式分解积分 |
| $ \int \frac{1}{(x + a)^n} \, dx $ | $ \frac{(x + a)^{1 - n}}{1 - n} + C $ (n ≠ 1) | 幂函数分式积分 |
三、反三角函数积分
| 函数 | 积分结果 | 说明 | ||
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反正弦函数积分 | ||
| $ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反正切函数积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \text{arcsec}\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ | 反余割函数积分 |
四、其他常见积分公式
| 函数 | 积分结果 | 说明 | ||
| $ \int \ln x \, dx $ | $ x \ln x - x + C $ | 对数函数积分 | ||
| $ \int \sinh x \, dx $ | $ \cosh x + C $ | 双曲函数积分 | ||
| $ \int \cosh x \, dx $ | $ \sinh x + C $ | 双曲函数积分 | ||
| $ \int \tanh x \, dx $ | $ \ln | \cosh x | + C $ | 双曲函数积分 |
| $ \int \coth x \, dx $ | $ \ln | \sinh x | + C $ | 双曲函数积分 |
五、小结
积分是微积分的核心内容之一，熟练掌握各种类型的积分公式，有助于提高解题效率和理解数学本质。以上列出的公式涵盖了基本初等函数、有理函数、反三角函数以及双曲函数的积分形式，适用于大多数基础数学问题的求解。
建议在学习过程中结合实例进行练习，逐步加深对积分方法的理解与应用能力。
