【高考数学复数公式】在高考数学中，复数是一个重要的知识点，主要涉及复数的定义、运算、几何意义及应用。掌握复数的相关公式，有助于提高解题效率和准确率。以下是对高考数学中常见复数公式的总结，便于复习和记忆。
一、基本概念
| 概念 | 内容 | ||
| 复数 | 形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a, b \in \mathbb{R} $，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $ | ||
| 实部 | $ a $ 称为复数的实部 | ||
| 虚部 | $ b $ 称为复数的虚部 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = a - bi $，与原复数实部相同，虚部相反 | ||
| 模 | $ | z | = \sqrt{a^2 + b^2} $，表示复数在复平面上的距离 |
二、复数的运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | 分子分母同乘以分母的共轭复数 |
| 幂运算 | $ z^n = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) $（极坐标形式） | 利用德莫弗定理计算幂次 |
三、复数的几何意义
| 概念 | 公式/解释 | ||
| 复平面 | 将复数 $ a + bi $ 对应到直角坐标系中的点 $ (a, b) $ | ||
| 向量表示 | 复数可以看作从原点指向点 $ (a, b) $ 的向量 | ||
| 模与幅角 | $ | z | = r $，$ \theta = \arg(z) $，即复数在复平面上的长度和角度 |
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或 $ z = re^{i\theta} $ |
四、常用结论与技巧
| 内容 | 说明 | ||
| 共轭复数性质 | $ z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) $，$ z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z) $ | ||
| 模的平方 | $ | z | ^2 = z \cdot \overline{z} $ |
| 复数方程 | 若 $ z_1 + z_2 = 0 $，则 $ z_1 = -z_2 $；若 $ z_1 \cdot z_2 = 0 $，则至少有一个为零 | ||
| 根与系数关系 | 若 $ z_1, z_2 $ 是方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的根，则 $ z_1 + z_2 = -p $，$ z_1 z_2 = q $ |
五、典型例题解析（简要）
例题1：
已知复数 $ z = 3 + 4i $，求其共轭复数与模。
解：
共轭复数为 $ \overline{z} = 3 - 4i $，模为 $
例题2：
计算 $ \frac{1 + i}{1 - i} $。
解：
分子分母同乘以 $ 1 + i $，得：
$$
\frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i
$$
总结
复数是高考数学中不可忽视的一部分，掌握其基本概念、运算规则和几何意义，能够帮助学生更高效地应对相关题目。通过整理上述公式与实例，考生可以系统性地复习复数知识，提升解题能力。建议结合练习题进行巩固，确保熟练运用各类公式。
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