【二项式定理公式是什么】在数学中，二项式定理是一个非常重要的代数公式，用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式。它不仅在代数中有广泛应用，还在组合数学、概率论和微积分等领域中扮演着关键角色。
二项式定理的公式可以简洁地表示为：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $n$ 是一个非负整数；
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个元素中取出 $k$ 个的组合方式数目，计算公式为：
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
二项式定理的核心
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 用于展开 $(a + b)^n$ 的公式 |
| 公式 | $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ |
| 组合数 | $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ |
| 应用领域 | 代数、组合数学、概率、微积分等 |
| 特点 | 展开后的每一项由组合数、$a$ 的幂次和 $b$ 的幂次组成 |
实例说明：
以 $n = 3$ 为例，根据二项式定理：
$$
(a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b + \binom{3}{2}ab^2 + \binom{3}{3}b^3
$$
计算各项的组合数：
- $\binom{3}{0} = 1$
- $\binom{3}{1} = 3$
- $\binom{3}{2} = 3$
- $\binom{3}{3} = 1$
因此：
$$
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
$$
小结：
二项式定理是数学中一个基础而强大的工具，能够帮助我们快速展开任意次幂的二项式表达式。通过理解其公式结构和组合数的意义，我们可以更深入地掌握多项式的展开规律，并将其应用于各种数学问题中。
