【对勾函数是什么样的怎么求最值】对勾函数是一种在数学中常见的函数类型，因其图像形状类似“对勾”而得名。它通常指的是形如 $ y = ax + \frac{b}{x} $ 的函数（其中 $ a > 0, b > 0 $），在某些情况下也可能包括其他形式的分式函数。这种函数在高中数学和大学数学中都有广泛的应用，尤其是在求极值、分析函数性质等方面。
一、对勾函数的基本特点
| 特点 | 描述 |
| 定义域 | $ x \neq 0 $，即 $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| 图像形状 | 图像由两部分组成，分别位于第一象限和第三象限，形成“对勾”形状 |
| 奇偶性 | 是奇函数，即 $ f(-x) = -f(x) $ |
| 单调性 | 在区间 $ (0, +\infty) $ 上先减后增，在 $ (-\infty, 0) $ 上先增后减 |
| 对称性 | 关于原点对称 |
二、如何求对勾函数的最值
对勾函数 $ y = ax + \frac{b}{x} $（$ a > 0, b > 0 $）的最值可以通过以下方法求解：
方法一：利用导数法
1. 求导：
$$
y' = a - \frac{b}{x^2}
$$
2. 令导数为零，求极值点：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}} \quad \text{或} \quad x = -\sqrt{\frac{b}{a}}
$$
3. 判断极值类型：
- 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，函数取得最小值；
- 当 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，函数取得最大值（在负区间）。
4. 计算最值：
$$
y_{\min} = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
$$
y_{\max} = -2\sqrt{ab}
$$
方法二：利用不等式法（均值不等式）
对于 $ x > 0 $，根据均值不等式：
$$
ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ax \cdot \frac{b}{x}} = 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $ 即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取等号，此时取得最小值 $ 2\sqrt{ab} $。
三、总结对比
| 项目 | 对勾函数 $ y = ax + \frac{b}{x} $（$ a > 0, b > 0 $） |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 图像 | 对勾形状，关于原点对称 |
| 最小值 | 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，$ y_{\min} = 2\sqrt{ab} $ |
| 最大值 | 当 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，$ y_{\max} = -2\sqrt{ab} $ |
| 求法 | 导数法、均值不等式法均可使用 |
通过对勾函数的理解与分析，我们不仅能掌握其基本性质，还能灵活运用多种方法求解其最值问题。在实际应用中，这类函数常用于优化问题、物理模型和经济模型等领域。
