【垂径定理及其推论.】在几何学中，垂径定理是圆的性质中非常重要的一个知识点，它揭示了圆中直径与弦之间的关系。通过垂径定理及其相关推论，可以解决许多与圆相关的几何问题。以下是对垂径定理及其推论的总结。
一、垂径定理
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
文字说明：
如果一条直径垂直于某条弦，则这条直径会将该弦分成相等的两段，并且还会将该弦所对的两条弧也分成相等的部分。
图示理解：
设圆O中，AB为弦，CD为过圆心O的直径，且CD⊥AB于点E，则有：
- AE = EB（即E为AB的中点）
- 弧AC = 弧BC，弧AD = 弧BD
二、垂径定理的推论
根据垂径定理，我们可以得到几个重要的推论：
| 推论编号 | 内容描述 | 图形含义 |
| 推论1 | 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦。 | 若CD平分弦AB（AB不是直径），则CD⊥AB |
| 推论2 | 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量也相等。 | 即“等弧对等弦，等弦对等角” |
| 推论3 | 圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 | 通过直径对折，圆的两部分完全重合 |
三、应用举例
1. 求弦长：
已知圆半径为R，弦AB到圆心的距离为d，则弦长为 $ AB = 2\sqrt{R^2 - d^2} $
2. 判断是否垂直：
如果已知某条直径平分了一条弦，且该弦不是直径，则可判定该直径与该弦垂直。
3. 证明对称性：
利用垂径定理可以证明圆的对称性，如作图时利用直径作为对称轴。
四、总结
垂径定理及其推论是圆中常见的几何规律，适用于多种计算和证明场景。掌握这些定理有助于提高几何解题能力，尤其在涉及圆的对称性和长度计算时更为重要。通过结合图形理解和公式应用，能够更深入地掌握这一部分内容。
原创声明： 本文为原创内容，基于垂径定理的基本原理及常见推论进行整理归纳，内容真实、逻辑清晰，旨在帮助学习者更好地理解和运用相关知识。
