在数学中，函数 \( \arcsin x \)，也被称为反三角函数之一，是一种非常重要的工具。它与正弦函数 \( \sin x \) 互为反函数。为了确保函数的可逆性，我们需要明确其定义域和值域。

定义域的确定

\( \arcsin x \) 的定义域是基于其原函数 \( \sin x \) 的性质来决定的。正弦函数 \( \sin x \) 是一个周期函数，在整个实数范围内取值范围为 \([-1, 1]\)。然而，为了使 \( \sin x \) 具有反函数特性，必须将其限制在一个单调区间内。通常选择的是主值区间 \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，在这个区间内，\( \sin x \) 是严格单调递增的。

因此，对于 \( \arcsin x \)，其定义域被限定为 \([-1, 1]\)，这是因为只有当 \( x \) 的取值在这个区间内时，才能找到唯一对应的 \( y \) 值满足 \( \sin y = x \) 且 \( y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)。

总结

综上所述，函数 \( \arcsin x \) 的定义域为 \([-1, 1]\)，这是由正弦函数的基本性质以及反函数存在的必要条件所决定的。理解这一点有助于我们更好地应用 \( \arcsin x \) 在实际问题中的计算与分析。