【离散分布的期望和方差怎么求】在概率论与数理统计中，离散分布是描述随机变量取有限或可数无限个值的概率分布。常见的离散分布包括二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布等。对于这些分布，我们通常需要计算其期望（均值）和方差，以了解其集中趋势和离散程度。
下面将对几种常见离散分布的期望和方差进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、期望与方差的基本概念
- 期望（Expected Value）：表示随机变量在长期重复试验中取值的平均结果。
- 方差（Variance）：表示随机变量与其期望之间的偏离程度，衡量数据的波动性。
二、常见离散分布的期望与方差
| 分布名称 | 概率质量函数 $ P(X = x) $ | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 两点分布（0-1分布） | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $, $ x=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $, $ k=0,1,...,n $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Poisson(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $, $ k=0,1,2,... $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布（成功次数） | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $, $ k=1,2,... $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 $ H(N, K, n) $ | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $, $ k=0,1,...,n $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
三、总结
在实际应用中，掌握不同离散分布的期望和方差有助于我们更好地理解随机现象的统计特性。例如：
- 二项分布常用于描述独立重复试验中成功次数的分布；
- 泊松分布适用于稀有事件发生的次数；
- 几何分布描述的是首次成功前的试验次数；
- 超几何分布则用于不放回抽样问题。
通过上述表格，可以快速查找各类离散分布的期望与方差公式，为后续的概率分析和统计建模提供理论依据。
如需进一步了解每种分布的具体应用场景或推导过程，可继续深入学习相关教材或参考资料。
