【二重极限怎么求】在数学分析中，二重极限是研究函数在二维平面上某一点附近的变化趋势的重要工具。它与一元函数的极限概念类似，但需要考虑两个变量同时趋近于某个点的情况。本文将总结常见的二重极限求法，并以表格形式呈现关键方法和适用条件。

一、二重极限的基本概念

设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 的某个邻域内有定义（可能在该点本身无定义），若对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，存在正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta $ 时，都有

$$

$$

则称 $ L $ 是 $ f(x, y) $ 当 $ (x, y) \to (x_0, y_0) $ 时的二重极限，记作：

$$

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = L

$$

二、二重极限的求法总结

三、常见误区与注意事项

1. 路径依赖性：二重极限的存在性比一元极限更严格，必须对所有路径都收敛才成立。

2. 不可简单使用单变量极限：不能单独让一个变量趋近，而忽略另一个变量的变化。

3. 连续性判断：若函数在该点连续，则可以直接代入；否则需进一步分析。

4. 极坐标法的局限性：虽然常用，但不能保证所有情况下都能有效判断极限是否存在。

四、示例说明

例1：求

$$

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}

$$

解法：用极坐标法，令 $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $，则

$$

\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{r^3 \cos^2\theta \sin\theta}{r^2} = r \cos^2\theta \sin\theta \to 0 \quad (r \to 0)

$$

因此极限为 0。

例2：求

$$

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}

$$

解法：沿不同路径代入：

- 沿 $ y = 0 $：极限为 1

- 沿 $ y = x $：极限为 0

由于不同路径结果不同，故极限不存在。

五、总结

二重极限的求解需要结合多种方法，尤其要注意路径的选择和极限的存在性。在实际应用中，建议先尝试直接代入，再根据情况选择路径法、极坐标法或夹逼定理等方法。掌握这些技巧有助于提高对多元函数极限的理解与计算能力。