【二次函数顶点坐标公式】在学习二次函数的过程中，了解其顶点坐标是掌握函数图像性质的重要一步。顶点是抛物线的最高点或最低点，决定了函数的极值位置。掌握顶点坐标的计算方法，有助于快速分析二次函数的图像特征。
一、二次函数的一般形式
二次函数的标准形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。
二、顶点坐标的公式
对于上述标准形式的二次函数，其顶点的横坐标 $ x $ 可以通过以下公式求得：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将该值代入原函数中，即可得到对应的纵坐标 $ y $，即顶点的纵坐标为：
$$
y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)
$$
因此，顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a},\ f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)
$$
三、顶点坐标的另一种表示方式
如果二次函数写成顶点式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
那么顶点坐标直接为：
$$
(h,\ k)
$$
这种形式更便于观察顶点的位置。
四、总结与对比
| 二次函数形式 | 顶点坐标公式 | 说明 |
| 标准式：$ y = ax^2 + bx + c $ | $ \left( -\dfrac{b}{2a},\ f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right) $ | 需要代入计算纵坐标 |
| 顶点式：$ y = a(x - h)^2 + k $ | $ (h,\ k) $ | 直接读出顶点坐标 |
五、实际应用举例
例1：
已知函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $，求其顶点坐标。
- 横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 纵坐标：$ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 $
所以顶点坐标为 $ (1, -1) $。
例2：
已知函数 $ y = -3(x - 2)^2 + 5 $，其顶点坐标为 $ (2, 5) $。
六、小结
掌握二次函数的顶点坐标公式，不仅有助于理解函数的图像特征，还能在实际问题中快速找到最大值或最小值。无论是使用标准式还是顶点式，都可以通过公式快速确定顶点位置，提升解题效率。
