在数学中，最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）是两个非常重要的概念。它们广泛应用于分数运算、整除性分析以及代数问题的解决中。本文将以6和9为例，通过短除法来清晰地展示如何快速求出这两个值。

短除法的基本步骤

短除法是一种简单直观的方法，适用于求两个或多个数的最大公因数和最小公倍数。其核心思想是逐步分解这些数的共同因子，直至无法再继续分解为止。

求解过程

第一步：列出初始数字

我们要求的是6和9的最大公因数和最小公倍数。将这两个数字写成一行：

```

6 9

```

第二步：寻找最小公因数

从最小的质数开始尝试，看是否能同时整除这两个数字。这里选择2作为起点：

- 6可以被2整除，结果为3；

- 9不能被2整除。

因此，2不是它们的公因数。接下来尝试下一个质数——3。

第三步：继续分解

- 6可以被3整除，结果为2；

- 9也可以被3整除，结果为3。

此时，我们将商写在下一行：

```

2 3

```

第四步：重复操作

再次检查2和3是否有公因数。显然，2和3互质，没有其他共同因子了。于是，停止分解。

最大公因数的计算

在短除法过程中，每次提取的公因数相乘就是最大公因数。在这一步中，我们只提取了一个3，因此：

$$

\text{最大公因数} = 3

$$

最小公倍数的计算

最小公倍数的计算方法是：将所有提取的公因数与未提取的商相乘。具体来说：

- 提取的公因数为3；

- 剩余的商分别为2和3。

因此：

$$

\text{最小公倍数} = 3 \times 2 \times 3 = 18

$$

验证结果

为了确保答案正确，我们可以验证以下两点：

1. 最大公因数验证

6和9的最大公因数确实是3，因为3是它们唯一的公共因子。

2. 最小公倍数验证

6和9的最小公倍数是18，因为18是它们的倍数，并且是最小的那个。

总结

通过短除法，我们成功求出了6和9的最大公因数为3，最小公倍数为18。这种方法不仅直观易懂，而且效率极高，特别适合用于解决类似的问题。

希望本文对你有所帮助！如果还有其他疑问，欢迎随时提问。