【概率论五大基本公式】在概率论的学习与应用中，掌握一些基本的公式是理解和解决实际问题的关键。以下是概率论中最为重要且常用的五大基本公式，它们构成了概率分析的基础框架。

一、加法公式（Addition Rule）

公式

对于任意两个事件 $ A $ 和 $ B $，有：

$$

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$$

说明：

该公式用于计算两个事件至少有一个发生的概率。当 $ A $ 与 $ B $ 互斥时（即 $ A \cap B = \emptyset $），则 $ P(A \cap B) = 0 $，此时公式简化为 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $。

二、乘法公式（Multiplication Rule）

公式

若事件 $ A $ 和 $ B $ 同时发生，则：

$$

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(BA)

$$

其中，$ P(BA) $ 表示在事件 $ A $ 发生的条件下，事件 $ B $ 发生的概率。

说明：

如果 $ A $ 和 $ B $ 是独立事件，则 $ P(BA) = P(B) $，此时公式变为：

$$

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

$$

三、全概率公式（Law of Total Probability）

公式

设 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是一个完备事件组（即两两互斥且并集为样本空间），则对任意事件 $ A $，有：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

说明：

该公式用于将复杂事件的概率分解为多个简单事件的条件概率之和，常用于贝叶斯定理的推导。

四、贝叶斯公式（Bayes' Theorem）

公式

在已知事件 $ A $ 发生的条件下，求事件 $ B_i $ 发生的概率：

$$

P(B_iA) = \frac{P(B_i) \cdot P(AB_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(AB_j)}

$$

说明：

贝叶斯公式是概率论中用于更新概率估计的重要工具，广泛应用于统计推断、机器学习等领域。

五、期望公式（Expected Value）

公式

设随机变量 $ X $ 的取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其期望为：

$$

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i

$$

说明：

期望反映了随机变量的平均取值，是衡量随机变量集中趋势的重要指标。

总结表格

通过掌握这五大基本公式，可以系统地理解概率论的核心思想，并在实际问题中灵活运用。无论是理论研究还是工程应用，这些公式都是不可或缺的工具。