【除法的求导公式是什么啊】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当我们面对两个函数相除的情况时，就需要使用“除法的求导法则”来计算其导数。这个法则也被称为“商法则”（Quotient Rule），是求导过程中非常常见且重要的内容。
为了帮助大家更好地理解和记忆这一公式，下面将对“除法的求导公式”进行总结，并以表格形式直观展示。
一、除法的求导公式
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简化为：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
二、公式解析
- 分子部分：先对分子 $ u(x) $ 求导，再乘以分母 $ v(x) $；然后减去分子 $ u(x) $ 乘以分母 $ v(x) $ 的导数。
- 分母部分：分母的平方 $ [v(x)]^2 $，确保结果是一个分数形式。
这个公式与乘法的求导法则（即“积法则”）类似，但符号不同，需要注意顺序和减号的位置。
三、示例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，那么：
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，$ v'(x) = \cos x $
根据公式：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
四、总结表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | $ u, v $ 可导，$ v \neq 0 $ |
| 举例 | $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $ | $ u = x^2, v = \sin x $ |
| 注意事项 | 分子部分为“导数乘分母减去原函数乘导数” | 顺序不能颠倒，注意减号 |
通过以上总结，我们可以清晰地看到“除法的求导公式”的结构和应用方式。掌握这一法则，有助于我们在处理复杂函数时更加得心应手。
