【刘维尔逼近定理】一、

刘维尔逼近定理是数论中关于代数数的有理数逼近的重要定理，由法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）于1844年提出。该定理揭示了代数数不能被有理数“太好”地逼近，从而为后来超越数的存在性证明奠定了基础。

简而言之，刘维尔定理指出：对于任意一个次数为 $ n \geq 2 $ 的代数数 $ \alpha $，存在一个正数 $ c = c(\alpha) > 0 $，使得对所有有理数 $ \frac{p}{q} $（其中 $ p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 $），都有：

$$

\left \alpha - \frac{p}{q} \right > \frac{c}{q^n}

$$

这意味着，任何代数数都不能被有理数以高于其次数的精度逼近。这一结论在数学史上具有重要意义，因为它首次证明了某些数（如刘维尔常数）不是代数数，从而确认了它们是超越数。

二、表格对比

三、补充说明

刘维尔逼近定理虽然在理论上具有开创性，但它的结果相对粗糙，因为它给出的下界 $ \frac{c}{q^n} $ 并不紧致。后来的数学家如狄利克雷、库默尔和罗素等人对该定理进行了改进，提出了更精确的逼近条件，例如狄利克雷定理和罗素定理等。

此外，刘维尔定理还启发了后续数学家寻找具体的超越数，并推动了对无理数和超越数的深入研究。今天，该定理仍然是理解数论中逼近问题的基础之一。