【刘维尔逼近定理】一、
刘维尔逼近定理是数论中关于代数数的有理数逼近的重要定理,由法国数学家约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)于1844年提出。该定理揭示了代数数不能被有理数“太好”地逼近,从而为后来超越数的存在性证明奠定了基础。
简而言之,刘维尔定理指出:对于任意一个次数为 $ n \geq 2 $ 的代数数 $ \alpha $,存在一个正数 $ c = c(\alpha) > 0 $,使得对所有有理数 $ \frac{p}{q} $(其中 $ p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 $),都有:
$$
\left
$$
这意味着,任何代数数都不能被有理数以高于其次数的精度逼近。这一结论在数学史上具有重要意义,因为它首次证明了某些数(如刘维尔常数)不是代数数,从而确认了它们是超越数。
二、表格对比
项目 | 内容 | ||
定理名称 | 刘维尔逼近定理 | ||
提出者 | 约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville) | ||
提出时间 | 1844年 | ||
核心结论 | 任意次数 $ n \geq 2 $ 的代数数 $ \alpha $,存在常数 $ c > 0 $,使得对所有有理数 $ \frac{p}{q} $,有 $ \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | > \frac{c}{q^n} $ |
意义 | 首次证明某些数为超越数;奠定超越数理论基础 | ||
应用领域 | 数论、超越数理论、解析数论 | ||
相关概念 | 代数数、有理数逼近、超越数 | ||
著名例子 | 刘维尔常数 $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10^{k!}} $ 是第一个被证明的超越数 |
三、补充说明
刘维尔逼近定理虽然在理论上具有开创性,但它的结果相对粗糙,因为它给出的下界 $ \frac{c}{q^n} $ 并不紧致。后来的数学家如狄利克雷、库默尔和罗素等人对该定理进行了改进,提出了更精确的逼近条件,例如狄利克雷定理和罗素定理等。
此外,刘维尔定理还启发了后续数学家寻找具体的超越数,并推动了对无理数和超越数的深入研究。今天,该定理仍然是理解数论中逼近问题的基础之一。
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