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总结同底数幂乘法和幂的乘方六个法则

2025-07-03 04:45:17

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2025-07-03 04:45:17

总结同底数幂乘法和幂的乘方六个法则】在初中数学中,同底数幂的乘法与幂的乘方是整式运算中的重要内容。掌握这些法则不仅有助于提高计算效率,还能为后续学习多项式、因式分解等知识打下坚实基础。以下是对“同底数幂乘法和幂的乘方”相关法则的系统总结。

一、同底数幂的乘法法则

法则1:同底数幂相乘,底数不变,指数相加

即:

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

适用条件:底数相同,且均为正整数(或整数)。

举例说明:

$ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $

二、幂的乘方法则

法则2:幂的乘方,底数不变,指数相乘

即:

$$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$

适用条件:底数相同,指数为正整数。

举例说明:

$ (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 $

三、积的乘方法则

法则3:积的乘方,等于各因式的乘方的积

即:

$$ (ab)^n = a^n \cdot b^n $$

适用条件:乘积的每个因式均可进行幂运算。

举例说明:

$ (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $

四、同底数幂相除法则

法则4:同底数幂相除,底数不变,指数相减

即:

$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$

适用条件:底数相同,且 $ a \neq 0 $,指数为正整数。

举例说明:

$ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 $

五、零指数与负指数法则

法则5:任何非零数的零次幂都等于1

即:

$$ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$

法则6:负指数表示倒数

即:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

适用条件:底数不为零,指数为正整数。

举例说明:

$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $

$ 5^0 = 1 $

六、综合应用示例

运算类型 法则名称 表达式 举例说明
乘法 同底数幂相乘 $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ $ 2^3 \cdot 2^4 = 2^7 $
乘方 幂的乘方 $ (a^m)^n = a^{mn} $ $ (2^3)^2 = 2^6 $
乘方 积的乘方 $ (ab)^n = a^n \cdot b^n $ $ (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 $
除法 同底数幂相除 $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ $ \frac{5^6}{5^2} = 5^4 $
特殊情况 零指数 $ a^0 = 1 $ $ 10^0 = 1 $
特殊情况 负指数 $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ $ 3^{-2} = \frac{1}{9} $

通过以上六条法则的学习与运用,可以更加熟练地处理涉及幂的运算问题。建议在实际练习中多加应用,逐步提升对幂运算的理解和运用能力。

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