在数学领域中，复数是一个重要的概念，它由实部和虚部组成，通常表示为 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，而 \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。复数不仅在理论研究中有广泛应用，在工程学、物理学等领域也发挥着关键作用。因此，掌握复数的基本运算规则显得尤为重要。本文将重点介绍复数的乘法与除法运算法则。
一、复数的乘法规则
复数的乘法遵循分配律、结合律以及交换律，并且虚数单位 \(i\) 的平方等于 \(-1\)。设两个复数分别为 \(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)，则它们的乘积为：
\[
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di)
\]
根据多项式展开法则，可以将其展开为：
\[
z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci + bdi^2
\]
由于 \(i^2 = -1\)，因此上式可进一步简化为：
\[
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
由此得出复数乘法的结果仍然是一个复数，其实部为 \(ac - bd\)，虚部为 \(ad + bc\)。
示例：
计算复数 \(z_1 = 2 + 3i\) 和 \(z_2 = 4 - i\) 的乘积。
解：
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 - i)
\]
按照公式展开：
\[
z_1 \cdot z_2 = 8 - 2i + 12i - 3i^2
\]
化简后：
\[
z_1 \cdot z_2 = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i
\]
二、复数的除法规则
复数的除法是通过将分母有理化实现的。假设两个复数分别为 \(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)，则它们的商为：
\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}
\]
为了消除分母中的虚数部分，我们乘以分母的共轭复数 \(c - di\)，即：
\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}
\]
分子部分按普通复数乘法计算，分母部分利用平方差公式简化为：
\[
(c + di)(c - di) = c^2 + d^2
\]
因此，最终结果为：
\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\]
实部为 \(\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\)，虚部为 \(\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\)。
示例：
计算复数 \(\frac{3 + 4i}{1 + 2i}\)。
解：
首先，乘以分母的共轭复数 \(1 - 2i\)：
\[
\frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}
\]
分子部分展开：
\[
(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i
\]
分母部分化简：
\[
(1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 + 2^2 = 5
\]
因此，结果为：
\[
\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i
\]
三、总结
复数的乘法和除法虽然涉及虚数单位 \(i\) 的特殊性质，但其本质仍是基于代数运算规则。熟练掌握这些法则，不仅可以帮助解决复杂的数学问题，还能为后续学习复变函数等高级内容奠定坚实基础。希望本文的内容能够为大家提供清晰的理解与实用的帮助！
