在概率论与数理统计中，泊松分布是一种常见的离散概率分布，广泛应用于描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，某医院每天接收到的急诊人数、某邮箱每分钟接收到的邮件数量等都可以通过泊松分布来建模。

泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）通常表示为：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( X \) 是服从泊松分布的随机变量，代表事件发生的次数。

- \( k \) 是非负整数，表示事件发生的具体次数（\( k = 0, 1, 2, ... \)）。

- \( \lambda \) 是泊松分布的参数，表示单位时间或空间内事件发生的平均次数。

- \( e \) 是自然对数的底数，约等于 2.71828。

从公式的结构来看，泊松分布的概率计算依赖于两个关键因素：事件的平均发生次数 \( \lambda \) 和事件发生的次数 \( k \)。当 \( \lambda \) 固定时，随着 \( k \) 的增加，事件发生的概率会迅速下降，这反映了泊松分布的稀有性特征。

泊松分布的应用场景非常丰富。例如，在质量管理领域，它可以用来预测产品缺陷的数量；在生物学研究中，它可以帮助分析细胞突变的发生频率。此外，泊松分布还常用于保险行业的风险评估，帮助保险公司合理设定保费。

值得注意的是，泊松分布的一个重要假设是事件的发生是独立的，并且在任意相等的时间段内，事件发生的概率是恒定的。如果这些假设不成立，则可能需要考虑其他更复杂的模型。

总之，泊松分布的概率公式不仅简单直观，而且具有很强的实际应用价值。通过对公式的深入理解，我们可以更好地利用这一工具解决现实生活中的各种问题。