在数学领域中，三角函数是一个非常重要的部分，它帮助我们解决各种几何问题以及实际生活中的测量难题。今天，我们将探讨一个具体的例子——sin75°的值。

首先，我们需要明确的是，sin75°可以通过已知的角度来推导得出。根据三角函数的基本性质，我们可以将75°分解为两个特殊角的和：45°+30°。这样做的好处在于，这两个角度对应的正弦值和余弦值都是我们熟知的。

利用三角恒等式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，我们可以计算出sin75°的具体数值：

\[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]

接下来，代入已知数据：

- \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

因此：

\[

\sin 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)

= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\]

由此可知，\(\sin 75^\circ\) 的精确值是 \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)。

这个结果不仅展示了数学公式在具体问题中的应用，也体现了数学之美。通过简单的组合与运算，我们能够准确地描述复杂的角度关系。同时，这也提醒我们在学习过程中，要善于运用已知的知识点去解决未知的问题，这是提升解题能力的关键所在。

希望这篇文章能让你对三角函数有更深的理解，并激发你探索更多数学奥秘的兴趣！