在数论领域中，欧拉函数是一个非常重要的概念。它主要用来描述一个正整数n与其小于n且与n互质的正整数个数之间的关系。这个函数通常用符号φ(n)表示。

欧拉函数的一个基本性质是，如果n是一个素数p的幂次，即n=p^k（其中k≥1），那么φ(p^k)=p^k-p^(k-1)。这是因为当n=p^k时，只有那些能被p整除的数才不会与n互质，而这样的数共有p^(k-1)个。

对于两个互质的正整数m和n，欧拉函数还满足乘法性质，即φ(mn)=φ(m)φ(n)。这一性质使得我们可以将较大的数分解为较小的互质因子来计算其欧拉函数值。

更一般地，若n的标准分解式为n=p₁^a₁p₂^a₂...pₖ^aₖ，则φ(n)可以表示为：

φ(n) = n(1 - 1/p₁)(1 - 1/p₂)...(1 - 1/pₖ)

这个公式表明，要计算φ(n)，我们需要知道n的所有不同素因数以及它们的指数。然后，对于每个素因数pi，我们从n中减去它的倍数，再乘以(1 - 1/pi)。

例如，假设n=30，其标准分解式为30=2×3×5。因此，

φ(30) = 30 × (1 - 1/2) × (1 - 1/3) × (1 - 1/5)

= 30 × (1/2) × (2/3) × (4/5)

= 8

所以，小于30并且与30互质的正整数有8个，分别是1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 和29。

欧拉函数在密码学中有广泛的应用，特别是在RSA加密算法中，选择合适的公钥和私钥依赖于对欧拉函数的理解和应用。此外，在组合数学和其他数学分支中也有许多问题涉及到欧拉函数的计算或性质分析。