在物理学中，引力势能是描述物体由于其位置而具有的能量的一种形式。要理解引力势能的来源及其数学表达式，我们需要从牛顿的万有引力定律出发进行逐步推导。

首先回顾一下牛顿的万有引力定律：两个质量分别为m₁和m₂的物体之间的引力F与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比，即F = G (m₁ m₂) / r²，其中G为万有引力常数。

为了得到引力势能公式，我们假设一个质量为m的物体位于另一个质量为M的大质量物体附近，并且两者之间的距离可以变化。在这种情况下，当我们将这个质量m从无限远处移动到距大质量M为r的位置时，需要克服引力做功。

根据经典力学中的功的定义，功W等于力F与位移s沿力方向分量的乘积积分。对于引力场来说，作用力的方向总是沿着两质点连线的方向，因此我们可以将上述关系写成：

W = ∫[G M m / r²] dr

积分限是从无穷远（r → ∞）到目标位置r。注意到当r趋于无穷大时，势能应为零，这是选择参考点的标准做法之一。这样，在完成积分后，我们得到的结果就是引力势能U：

U(r) = -G M m / r

这就是引力势能在经典力学框架下的表达式。它表明，随着物体靠近中心质量，其引力势能会变得更负值；反之，远离则变为更正值。此外，这个公式也反映了系统的稳定性：当系统处于平衡状态时，总能量为最小值。

总结起来，通过运用基本的物理原理和数学工具，我们成功地推导出了引力势能的公式。这一结果不仅有助于我们更好地理解天体运动等宏观现象，也为后续研究提供了坚实的理论基础。