【高中复合函数求导公式】在高中数学中，复合函数的求导是一个重要的知识点，尤其是在学习导数的应用时。复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。为了求出这种函数的导数，我们需要使用“链式法则”（Chain Rule）。以下是对高中阶段常见的复合函数求导公式的总结。
一、基本概念
- 复合函数：若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 称为复合函数。
- 导数：表示函数的变化率，记作 $ \frac{dy}{dx} $ 或 $ y' $。
- 链式法则：是求复合函数导数的基本方法，其公式为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、常见复合函数类型及求导公式
以下是高中阶段常见的几种复合函数及其对应的导数公式：
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，$ n $ 为常数 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = a^{f(x)} $ | $ y' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x) $ | 底数为 $ a $ 的指数函数导数 |
| $ y = \log_a(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(a)} $ | 底数为 $ a $ 的对数函数导数 |
三、应用举例
例1：求 $ y = (3x + 2)^5 $ 的导数
解：设 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = u^5 $
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4
$$
例2：求 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数
解：设 $ u = \sin x $，则 $ y = \ln u $
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x
$$
四、小结
高中阶段的复合函数求导主要依赖于链式法则，掌握不同函数类型的导数公式是关键。通过练习和理解每种函数的导数结构，可以更灵活地应对各种复合函数的求导问题。建议多做题，熟悉公式应用的场景，提高解题效率。
原创声明：本文内容为原创整理，结合高中数学教材与教学实践编写，旨在帮助学生系统掌握复合函数的求导方法。
